INTRODUÇÃO

BNCC 2017 EF07MA09 cita o uso de frações para resolução de problemas, com isso o conceito de frações pode reproduzir as fórmulas de compasso musicais, que organizam o ritmo em notas e pausas das frações de uns compassos completos ou incompletos e a utilização das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão de frações que auxilia a entender como combinar tempos e dividir composições em partes menores.

Bertoni 2009 o termo fração é usado para o valor total de uma unidade ou parte dela de forma numérica. O autor cita que a ideia de fração é saber diferenciar pedaços de um todo ou do inverso a partir disso, nas escolas os discentes reconhece frações de imagens com forma geométricas como círculos, retângulos e triângulos, para somas e subtração de denominadores iguais, porém nas operações de soma, subtração de denominadores diferentes e multiplicação e divisão estes conceitos acabam sendo mais difíceis de serem utilizados.

Ribeiro et al. (2016),   comenta sobre as razões e medidas de construção de escalas musicais, ou seja, focando no conceito de altura musical, estrutura musical como o pentagrama, as sete notas musicais, e trabalhar um pouco sobre duração musical dentro das figuras, fórmulas de compassos simples e intervalos musicais. Neste contexto o autor relata a importância das frações na construção de escalas musicais, razões onde definem a altura das notas e outras relações que a música está envolvida.

Diante dos desafios de ensinar frações com o uso da música como uma ferramenta pedagógica facilitadora para relações das frações dentro em operações da matemática que contribui numa aprendizagem mais prazerosa e significativa. As fórmulas de compasso analisando com detalhes, as figuras e pausas musicais auxiliará na busca de atividades didáticas que explorem essa conexão, assim os discentes constrói conceitos mais sólidos de frações. Os resultados destas pesquisas poderão contribuir para a elaboração de materiais didáticos inovadores e formação de Docentes, promovendo uma abordagem mais lúdica para o ensino aprendizagem dentro do ensino de matemática.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 

BEYER, O. H. (Música e Matemática) é um dos autores que mais explorou a relação intrínseca entre música e matemática no contexto brasileiro. Ele frequentemente discute como a estrutura musical, desde a organização rítmica até a harmonia, é fundamentada em princípios matemáticos. Em seus trabalhos, é comum encontrar análises sobre como a divisão do tempo em compassos e a duração das notas musicais são expressas através de relações fracionárias. Ele defende a interdisciplinaridade como um caminho para um aprendizado mais significativo.

Beyer aborda diretamente como as frações são a linguagem para descrever as durações relativas das notas musicais (semibreve, mínima, semínima, colcheia, etc.) e como essas divisões criam os padrões rítmicos. Ele também pode explorar como a construção de escalas e intervalos musicais se baseia em razões matemáticas, que são a essência das frações.

D’ambrosio, U. (Etnomatemática) é um dos criadores do conceito de Etnomatemática, que busca reconhecer e valorizar as diferentes formas de saber matemático que existem em diversas culturas e contextos sociais. Ele argumenta que a matemática não é uma disciplina universal e abstrata, mas sim uma ferramenta de compreensão e interação com o mundo, presente em práticas cotidianas, sob a ótica da etnomatemática, D’Ambrosio nos convida a buscar as manifestações matemáticas em práticas culturais, incluindo a música, em diversas tradições musicais (incluindo as brasileiras), formas de organizar o tempo, ritmos e melodias que utilizam princípios de divisão e proporção, que podem ser expressos ou compreendidos através de frações, mesmo que não formalmente apresentados assim. A música folclórica, por exemplo, pode ser um campo fértil para essa análise.

Ferreira, E. S. (Música e Aprendizagem), embora a obra específica de Ferreira que liga diretamente música e frações possa ser mais focada em artigos ou capítulos de livros didáticos, sua linha de pesquisa geralmente aborda como a música pode ser uma ferramenta poderosa para facilitar a aprendizagem em diversas áreas, incluindo a matemática. Ela explora os benefícios cognitivos e afetivos da música para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da capacidade de abstração. Ferreira pode apresentar estudos de caso ou propostas de atividades onde o ensino de frações é potencializado pelo uso de elementos musicais. Por exemplo, canções que explicam o conceito de frações, ou atividades rítmicas que envolvem a divisão de um tempo em partes iguais, utilizando a música como mediadora para a compreensão de conceitos fracionários.

Guzmán, M. de (Matemática e Arte), foi um grande defensor da beleza e da criatividade na matemática, e sua obra frequentemente explora as conexões entre a matemática e as artes. Ele argumenta que a matemática não é apenas lógica e rigor, mas também estética e criatividade, e que as artes podem ser um veículo para desmistificar a matemática e torná-la mais acessível e inspiradora. Guzmán certamente abordaria como a estrutura matemática da música, incluindo as relações de proporção que definem os intervalos e a organização rítmica (frações), contribui para a beleza e a harmonia musical. Ele poderia apresentar exemplos de como a compreensão dessas relações fracionárias aprofunda a apreciação da música e como a própria música pode ser vista como uma forma de “arte matemática” em ação. 

AS ILUSTRAÇÕES

Fórmulas de Compassos são agrupamentos regulares de batidas que ajudam a estruturar a música, compasso simples, agrupamentos em que cada batida pode ser dividida em duas partes (por exemplo, 2/4, 3/4, 4/4). O compasso 4/4 é o mais comum na música ocidental moderna, proporcionando uma sensação de estabilidade. Compasso Composto, agrupamentos onde cada batida pode ser dividida em três partes (por exemplo, 6/8, 9/8), esses compassos criam um fluxo mais fluido e muitas vezes são usados em danças ou músicas folclóricas. Compasso Irregular, combinações não convencionais de tempos (como 5/4 ou 7/8) que criam uma sensação única e muitas vezes surpreendente na música é uma linguagem rica e complexa, e um dos seus aspectos fundamentais é a organização rítmica, que é garantida pelas figuras de compasso. 

As figuras musicais são símbolos que representam a duração das notas e os silêncios, enquanto as fórmulas de compasso definem como essas figuras se agrupam em unidades rítmicas.

Semibreve representa a nota mais longa em composições comuns, valendo quatro tempos. É frequentemente usada para criar pausas prolongadas ou para dar ênfase a uma melodia. Mínima, vale dois tempos, sendo metade da semibreve. É uma figura muito utilizada para criar variações rítmicas.

Semínima, com um valor de um tempo, é a figura mais comum em muitos estilos musicais. A semínima pode ser combinada para criar ritmos mais complexos. Colcheia vale meio tempo, permitindo que o compositor adicione mais movimento à música.

Colcheias são frequentemente usadas em passagens rápidas. 

Semicolcheia representa um quarto de tempo, sendo utilizada para criar ritmos ainda mais rápidos e dinâmicos. Silêncios, assim como as notas, os silêncios também têm suas figuras (silêncio de semibreve, mínima, semínima, etc.) e são essenciais para criar pausas dramáticas e dar espaço à musicalidade. 

Figura 1 – Compasso Musical – a Matemática da música

Fonte: Cursos de Canto. Compasso musical: a matemática da música. Disponível em: https://cursosdecanto.com.br/compasso-musical/

METODOLOGIA 

Perguntas e Respostas sobre a Importância da Música na Aprendizagem de Frações.

Pergunta: Qual é a principal ideia por trás de usar a música para ensinar operações com frações em aulas de 45 minutos?

Resposta: A ideia central é que a música oferece um contexto concreto e lúdico para a compreensão de conceitos abstratos como frações. Em vez de apenas ver números em um papel, os discentes vivenciam as divisões e proporções através de elementos musicais como fórmulas de compasso, figuras e pausas. Isso torna a aprendizagem mais acessível, divertida e memorável, aproveitando a natureza rítmica e estrutural da música para ilustrar operações fracionárias.

Pergunta: Como as fórmulas de compasso e as figuras musicais se relacionam com as frações?

Resposta: As fórmulas de compasso, como o famoso 4/4, são, essencialmente, uma representação de como o tempo em uma música é dividido em partes iguais. O número superior (4) indica quantas batidas há em cada compasso, e o número inferior (4) indica qual figura musical representa uma batida. Isso se traduz diretamente em frações: em um compasso 4/4, o compasso inteiro é dividido em 4 partes, com a semínima (representada pelo “4” na fórmula) valendo 1/4 do compasso. As figuras musicais (semibreve, mínima, semínima, colcheia, etc.) têm durações que são frações umas das outras (uma mínima vale metade de uma semibreve, uma semínima vale metade de uma mínima, e assim por diante). As pausas também seguem essa lógica de duração fracionária.

Pergunta: De que maneira essa abordagem se diferencia das aulas tradicionais de matemática sobre frações?

Resposta: A diferença fundamental está na metodologia e no engajamento. As aulas tradicionais podem se concentrar em explicações abstratas e exercícios repetitivos. Nossa abordagem interdisciplinar com a música introduz um elemento sensorial e artístico, transformando a aprendizagem em uma experiência mais imersiva. Em vez de apenas calcular \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \), os alunos podem associar isso a ritmos musicais que, juntos, formam uma unidade maior, tornando o conceito mais intuitivo. Além disso, a curta duração de 45 minutos exige atividades focadas e de impacto imediato, onde a música se encaixa perfeitamente.

Pergunta: Quais são os benefícios específicos para os discentes ao aprenderem frações através da música?

Resposta: Os benefícios são múltiplos; Concretização do Abstrato, a música ajuda a “ver” e “ouvir” as frações, tornando-as menos abstratas. Aumento do engajamento, a natureza musical e rítmica capta a atenção dos discentes de forma mais eficaz. Desenvolvimento do Raciocínio Lógico e Espacial, a compreensão das divisões e proporções musicais estimula o raciocínio matemático. Melhora da Percepção Temporal e Rítmica, habilidades essenciais na música que também se aplicam à compreensão de sequências e divisões. Redução da Ansiedade em Matemática, ao associar a matemática a uma atividade prazerosa como a música, pode-se diminuir o receio que alguns discentes sentem pela disciplina. Aprendizagem Divertida, transforma o que poderia ser uma tarefa árdua em uma atividade prazerosa.

Pergunta: Como uma aula de 45 minutos pode ser eficaz para ensinar esse conteúdo?

Resposta: A eficácia em 45 minutos reside na focalização e na interatividade. 

A aula seria estruturada com, introdução rápida (5-10 min), apresentação do conceito musical (ex: fórmula de compasso) e sua ligação com a fração. Atividade Principal (20-25 min), uso de materiais manipuláveis (partituras simplificadas, cartões de figuras musicais, blocos) para demonstrar e praticar operações com frações através de ritmos. Pode envolver a criação de pequenos ritmos ou a resolução de problemas musicais. Fechamento e Consolidação (10 min), revisão rápida dos conceitos aprendidos, talvez com um pequeno desafio ou uma demonstração final, reforçando a conexão música-matemática. A chave é ter atividades bem planejadas, com transições rápidas e materiais que permitam a participação ativa de todos.

Pergunta: Que tipos de operações com frações podem ser exploradas com essa abordagem?

Resposta: Praticamente todas as operações básicas com frações podem ser visualizadas e praticadas, identificação de Frações, reconhecer a duração de cada figura musical como uma fração do compasso. Adição de Frações, combinar ritmos de diferentes durações para formar um compasso completo (ex: uma mínima + duas semínimas = 1 compasso inteiro, ou \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 \)). Subtração de Frações, remover ritmos de um compasso para ver o que resta.

Multiplicação e Divisão de Frações, conceitos mais avançados, mas que podem ser introduzidos através da ideia de “repetir um ritmo” (multiplicação) ou “dividir um ritmo em partes menores” (divisão).

MATERIAIS E MÉTODOS

Materiais que podem ser muito úteis; Materiais Visuais e Manipuláveis, partituras simplificadas que destaquem as fórmulas de compasso e as figuras musicais (semibreve, mínima, semínima, colcheia, etc.). Pode imprimir essas partituras em tamanhos maiores para que todos vejam bem. Cartões com figuras musicais e suas frações. Criar cartões onde de um lado esteja a figura musical (desenho da nota) e do outro o valor fracionário que representa dentro de um compasso específico (ex: compasso 4/4), isso ajuda na associação direta. Blocos ou peças de montar coloridas podem ser usados para representar as durações das notas, por exemplo, um bloco grande para a semibreve e blocos menores para as notas de menor duração, mostrando como elas se encaixam para formar o compasso inteiro. Tiras de Papel ou Fitas Coloridas, para demonstrar como as figuras se dividem em partes iguais, como uma barra de chocolate ou uma pizza, mas com a representação musical. Quadro Branco ou Lousa e Marcadores/Giz, essencial para escrever as fórmulas de compasso, as frações, desenhar as figuras musicais e fazer as operações.

Materiais Sonoros (se possível e adequado ao espaço); Caixa de Som ou Computador/Tablet, para reproduzir exemplos musicais que ilustrem as durações das notas e as fórmulas de compasso. Instrumentos Simples, se houver a possibilidade, instrumentos de percussão como chocalhos, pandeiros, ou até mesmo um teclado simples podem ser usados para que os alunos experimentem as durações e as divisões rítmicas.

Materiais de Registro; Folhas de Atividade, com exercícios para os alunos preencherem, associarem figuras a frações, ou até mesmo criarem pequenos ritmos usando as figuras aprendidas. Cadernos dos Alunos, para que anotem os conceitos, resolvam problemas e façam seus próprios desenhos de figuras musicais.

Dicas de organização para 45 minutos; Preparação antecipada, tenha todos os materiais prontos e organizados antes da aula começar. Distribuição rápida, pense em como distribuir os materiais de forma ágil para não perder tempo.

Foco: Escolha 2 ou 3 materiais principais para a aula, para não sobrecarregar os discentes com muitas opções. Com esses materiais criar uma aula dinâmica e muito visual, que facilita a compreensão das frações através da linguagem universal da música. Para execução do artigo a música e matemática em prática, os materiais são essenciais em uma aula de 45 minutos, o ideal é ter materiais que sejam fáceis de manusear e que permitam uma rápida transição entre as atividades.

Figura 2 – Aplicando a matemática básica.

Fonte: Clube de Matemática da Obmep. Disponível em: https://clubes.obmep.org.br/blog/aplicando-a-matematica-basica-sala-2/

RESULTADOS

PROPOSTA DIDÁTICA: RITMO E FIGURAS MUSICAIS (45 MINUTOS)

Componentes Curriculares: Matemática e Artes (Música)

Público-alvo: Alunos do Ensino Fundamental 

Objetivos Gerais, compreender a relação entre figuras musicais e frações. Desenvolver o raciocínio lógico-matemático através da música.

Estimular a criatividade e o trabalho em equipe. Introduzir conceitos básicos de ritmo musical.

Objetivos Específicos, identificar e nomear as figuras musicais básicas (semibreve, mínima, semínima, colcheia). Compreender o valor de cada figura musical em relação ao compasso. Associar o valor das figuras musicais a frações matemáticas.

Realizar a soma de frações correspondentes às figuras musicais para completar um compasso. Criar sequências rítmicas utilizando diferentes figuras musicais. 

Conteúdo Programático, figuras musicais e seus valores (semibreve, mínima, semínima, colcheia). Conceito de compasso (4/4). Frações: unidade, numerador, denominador. Soma de frações com o mesmo denominador.

DESENVOLVIMENTO DAS AULAS

Aula 1: Conhecendo os Blocos de Construção do Ritmo e da Matemática

Introdução (15 min), começar com uma pergunta instigante: “Vocês sabiam que a música e a matemática têm muito em comum? Que tal descobrirmos juntos como elas se conectam?”

Breve conversa sobre o que os alunos já sabem sobre música (sons, ritmos, instrumentos) e matemática (números, contas).

Apresentação das Figuras Musicais (25 min), mostrar visualmente as figuras musicais: semibreve, mínima, semínima e colcheia. Utilizar um quadro branco, projetor ou cartazes.

Explicar o nome de cada figura e sua forma. Introduzir o conceito de Compasso 4/4, explicar que ele é como uma “caixinha” que comporta um determinado número de batidas. No 4/4, cabem 4 batidas, e a semínima vale uma batida.

Conexão com Frações, comparar o compasso 4/4 a um “inteiro” (uma pizza completa, um bolo inteiro).

Semibreve, mostrar que ela dura o compasso inteiro (4 tempos). Se o compasso é 4/4, a semibreve vale 4/4 (ou seja, o inteiro).

Mínima, explicar que ela vale a metade da semibreve. Se a semibreve é 4/4, a mínima vale 2/4 (ou 1/2). Mostrar que duas mínimas preenchem um compasso 4/4.

Semínima, explicar que ela vale a metade da mínima. Se a mínima é 2/4, a semínima vale 1/4. Mostrar que quatro semínimas preenchem um compasso 4/4.

Colcheia, explicar que ela vale a metade da semínima. Se a semínima é 1/4, a colcheia vale 1/8. Mostrar que oito colcheias preenchem um compasso 4/4.

Exemplos Matemáticos e Tabela Didática (15 min), mostrar exemplos matemáticos.

Compasso 4/4 = inteiro.

Semibreve = 4/4

Mínima = 2/4 (ou 1/2)

Semínima = 1/4

Colcheia = 1/8

Soma de figuras, demonstrar como somar para completar um compasso.

Exemplo: 1/4 (semínima) + 1/4 (semínima) + 2/4 (mínima) = 4/4 (compasso completo).

Outro exemplo: 1/8 (colcheia) + 1/8 (colcheia) + 1/4 (semínima) + 1/2 (mínima) = 1/4 + 1/4 + 1/2 = 2/4 + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1 (ou 4/4).

Para o Ensino Fundamental, a semibreve pode ser chamada de “redonda” e a mínima de “branca”, pois são termos mais comuns em algumas abordagens didáticas.

Encerramento da Aula 1 (5 min);

Revisar rapidamente os conceitos.

Pedir para os alunos pensarem em combinações de figuras que somem 4 tempos.

Aula 2: Colocando a Mão na Massa (e no Ritmo)

Revisão e Aquecimento (10 min), relembrar as figuras musicais e seus valores em frações.

Fazer um pequeno exercício rítmico em conjunto: bater palmas ou usar instrumentos simples (chocalho, tambor) para representar figuras (ex: uma palma para semínima, duas palmas rápidas para colcheias, uma palma longa para mínima).

Proposta Pedagógica e Atividade Prática (30 min), Atividade: “Compondo Ritmos com Frações”. Dividir a turma em pequenos grupos (3-4 alunos). Distribuir materiais, cartões com figuras musicais (semibreve, mínima, semínima, colcheia) – cada figura em um cartão colorido diferente, se possível. Cartões em branco para os alunos desenharem as figuras. Papel e lápis para anotarem as frações.

Instruções, cada grupo deverá, usando os cartões de figuras musicais, montar um compasso 4/4. Vocês podem usar quantas figuras quiserem, desde que a soma delas complete exatamente 4 tempos (ou 4/4). “Depois, vocês devem escrever as frações correspondentes a cada figura que usaram e mostrar que a soma delas dá 4/4.”

Circular pela sala, auxiliando os grupos, tirando dúvidas sobre as figuras, os valores e as somas das frações. Incentivar a criatividade nas combinações.

Exemplos de combinações que os alunos podem fazer.

4 semínimas (1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4)

2 mínimas (1/2 + 1/2 = 1)

1 mínima e 2 semínimas (1/2 + 1/4 + 1/4 = 1)

8 colcheias (1/8 + … + 1/8 = 8/8 = 1)

Combinações mistas (ex: 1 mínima, 1 semínima, 2 colcheias = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/4 = 1/2 + 1/2 = 1) 3

Encerramento da Aula 2 (5 min);

Revisar rapidamente os conceitos.

DISCUSSÃO 

Pontos Fortes Observados (Potenciais Resultados Positivos):

Compreensão Concreta de Frações, a associação direta entre figuras musicais e frações (semibreve = 1 inteiro, mínima = 1/2, semínima = 1/4, colcheia = 1/8) torna o conceito abstrato de fração muito mais palpável e visual para os discentes, não estão apenas somando números, mas manipulando “partes de um todo” que têm um significado musical.

Engajamento e Motivação, a música é inerentemente motivadora para essa faixa etária. A introdução com uma pergunta instigante (“Vocês sabiam que a música e a matemática têm muito em comum?”) e a atividade prática de “Compondo Ritmos com Frações” certamente gerarão um alto nível de engajamento.

Raciocínio Lógico-Matemático, necessidade de somar as figuras musicais para completar um compasso (4/4) força os discentes  a aplicarem o raciocínio lógico e a prática da soma de frações de forma contextualizada, precisam pensar em como as partes se encaixam para formar o todo.

Criatividade e Colaboração, a atividade em grupo, onde os discentes montam seus próprios compassos, estimula a criatividade na escolha das figuras e promove o trabalho em equipe, aprendem a colaborar, a compartilhar ideias e a construir algo junto.

Introdução ao Ritmo e à Notação Musical, além da matemática, os discentes estão tendo um primeiro contato com os elementos básicos do ritmo musical e a notação correspondente, o que pode despertar o interesse pela música de forma mais aprofundada.

Conexão Interdisciplinar Clara, a forma como interligou os conteúdos de matemática (frações, soma) e artes (figuras musicais, ritmo) é muito bem-sucedida. Os discentes conseguem ver a aplicabilidade de um conteúdo no outro.

Possíveis Desafios e Como Abordá-los (Resultados a Serem Monitorados):

Dificuldade com a Notação das Colcheias, a colcheia (1/8) pode apresentar um desafio maior, pois exige um entendimento de que duas colcheias formam uma semínima (1/4). A soma de várias colcheias para completar um compasso pode ser mais complexa. 

Como discutir, se os discentes apresentarem dificuldade, na discussão dos resultados, pode-se enfatizar que a colcheia é “metade da metade da metade” da semibreve, ou que são necessárias 8 colcheias para preencher o compasso. A visualização com desenhos ou até mesmo com batidas de palmas mais rápidas pode ajudar.

Compreensão do Conceito de “Tempo” e “Batida”, embora explique o compasso 4/4 como 4 batidas, a percepção do tempo pode variar entre os discentes. 

Como discutir, perguntar aos discentes como eles sentiram a duração de cada figura. Por exemplo: “Qual figura durou mais? Qual durou menos? Por quê?”. Comparar a duração percebida com o valor fracionário.

Variações na Soma de Frações, alguns discentes podem ter mais facilidade com a soma de frações do que outros, especialmente se a base matemática não for uniforme.

Como discutir, celebrar as diferentes combinações que os grupos encontraram para somar 4/4. Mostrar que existem várias respostas corretas, incentivando a exploração. Para aqueles com mais dificuldade, pode-se usar materiais manipuláveis (como os cartões de figuras) para auxiliar na soma.

Gerenciamento do Tempo, com atividades práticas e grupos, o tempo pode ser um desafio.

Como discutir, se algumas atividades precisaram ser encurtadas ou adaptadas, isso pode ser mencionado como um aprendizado sobre o planejamento e a dinâmica da sala de aula. O que funcionou bem em termos de tempo e o que poderia ser ajustado para futuras aulas.

CONSIDERAÇÕES FINAIS 

A importância da música na matemática na aprendizagem no uso das operações com frações representa uma abordagem interdisciplinar diferente e acaba sendo uma opção de aprendizagem. Como mencionado durante o trabalho, as fórmulas de compasso, as figuras e pausas musicais não apenas ilustram os conceitos matemáticos de frações de forma mais concreta, mas também tornam mais acessíveis e divertidos para os discentes.

A partir disso a música transcende barreiras culturais, promovendo um ambiente mais lúdico e acolhedor que acaba desenvolvendo a criatividade, a coordenação motora e desenvolve o cognitivo do discente. Por meio dessa conexão, é possível superar desafios como o ensino de frações, ajudando os discentes a compreender e aplicar as operações matemáticas como soma, subtração, multiplicação e divisão de maneira mais intuitiva e divertida.

Por ser interdisciplinar incluir tanto a matemática oferece oportunidade para repensar práticas pedagógicas, favorecendo a elaboração de materiais didáticos diferentes e auxilia no aprimoramento da aula do docente.

Com isso, reforça o conhecimento do discente e torna a aprendizagem mais prazerosa, crítico e traz conhecimento cultural para um entendimento mais amplos dos conteúdos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

BEYER, O. H.Música e Matemática: Uma Abordagem Interdisciplinar para o Ensino. São Paulo: Moderna, 2002.

BEYER, O. H.O Ensino da Matemática e a Música. In: BICUDO, M. A. V.; GIOVANNI, J. R. (Orgs.). Encontros de Álgebra. São Paulo: Editora UNESP, 1999.

D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: Elo entre as Tradições e a Modernidade*. São Paulo: Summus Editorial, 1990.

D’AMBROSIO, U.Da Realidade à Ação: Investigando as Relações entre Matemática, Ciência e Sociedade. Campinas: Papirus, 2001.

GUZMÁN, M. de.A Aventura do Pensamento Matemático. São Paulo: Perspectiva, 2002.    

GUZMÁN, M. de. Matemáticas y Arte. In: Actas del IV Congreso de la Sociedad Española de Didáctica de las Matemáticas. (1995).